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Versuch zur Lösung eines Problems der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zur Person

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Thomas Bayes (1701-1761) war Mathematiker, Statistiker, Philosoph und presbyterianischer Pfarrer. Nach ihm ist der Satz von Bayes benannt, der in der Wahrscheinlichkeitsrechnung große Bedeutung hat. Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff Der bayessche Wahrscheinlichkeitsbegriff (engl. Bayesianism) interpretiert Wahrscheinlichkeit als Grad persönlicher Überzeugung (englisch degree of belief). Er unterscheidet sich damit von den objektivistischen Wahrscheinlichkeitsauffassungen wie dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit interpretiert. Der bayessche Wahrscheinlichkeitsbegriff darf nicht mit dem gleichfalls auf T. Bayes zurückgehenden Satz von Bayes verwechselt werden, welcher in der Statistik verwendet wird.

Der bayessche Wahrscheinlichkeitsbegriff ist ein exemplarisches Beispiel für die sogenannte Anwendung von Mathematik. Das Wort wahrscheinlich wird in der Alltagssprache im Sinne von T. Bayes verwendet. Statistik beinhaltet die Differenz: Wer Statistik "anwendet", macht keine Mathematik und müsste seine Vorannahmen im Sinne von T. Bayes explizit machen - andernfalls gilt das geflügelte Wort, wonach jede Statistik lügt.

Zum Beispiel schätzte Laplace die Masse des Saturns auf Basis vorhandener astronomischer Beobachtungen seiner Umlaufbahn. Er erläuterte die Ergebnisse zusammen mit einem Hinweis seiner Unsicherheit: „Ich wette 11.000 zu 1, dass der Fehler in diesem Ergebnis nicht größer ist als 1/100 seines Wertes.“ (Laplace hätte die Wette gewonnen, denn 150 Jahre später musste sein Ergebnis auf Grundlage neuer Daten um lediglich 0,37 % korrigiert werden.)

Die bayessche Interpretation von Wahrscheinlichkeit wurde zunächst Anfang des 20. Jahrhunderts vor allem in England ausgearbeitet. Führende Köpfe waren etwa Harold Jeffreys (1891–1989) und Frank Plumpton Ramsey (1903–1930). Letzterer entwickelte einen Ansatz, den er aufgrund seines frühen Todes nicht weiter verfolgen konnte, der aber unabhängig davon von Bruno de Finetti (1906–1985) in Italien aufgenommen wurde. Grundgedanke ist, „vernünftige Einschätzungen“ (engl. rational belief) als eine Verallgemeinerung von Wettstrategien aufzufassen: Gegeben sei eine Menge von Information/Messungen/Datenpunkten, und gesucht wird eine Antwort auf die Frage, wie hoch man auf die Korrektheit seiner Einschätzung wetten oder welche Odds man geben würde. (Der Hintergrund ist, dass man gerade dann viel Geld wettet, wenn man sich seiner Einschätzung sicher ist. Diese Idee hatte großen Einfluss auf die Spieltheorie). Eine Reihe von Streitschriften gegen (frequentistische) statistische Methoden ging von diesem Grundgedanken aus, über den seit den 1950ern zwischen Bayesianern und Frequentisten debattiert wird.