A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits

Claude E. Shannon

I. Introduction

In the control and protective circuits of complex electrical systems it is frequently necessary to make intricate interconnections of relay contacts and switches. Examples of these circuits occur in automatic telephone exchanges, industrial motor-control equipment, and in almost any circuits designed to perform complex operations automatically. In this paper a mathematical analysis of certain of the properties of such networks will be made. Particular attention will be given to the problem of network synthesis. Given certain characteristics, it is required to find a circuit incorporating these characteristics. The solution of this type of problem is not unique and methods of finding those particular circuits requiring the least number of relay contacts and switch blades will be studied. Methods will also be described for finding any number of circuits equivalent to a given circuit in all operating characteristics. It will be shown that several of the well-known theorems on impedance networks have roughly analogous theorems in relay circuits. Notable among these are the delta-wye and star-mesh transformations, and the duality theorem.

The method of attack on these problems may be described briefly as follows: any circuit isrepresented by a set of equations, the terms of the equations corresponding to the various relays and switches in the circuit. A calculus is developed for manipulating these equations by simple mathematical processes, most of which are similar to ordinary algebraic algorisms. This calculus is shown to be exactly analogous to the calculus of propositions used in the symbolic study of logic. For the synthesis problem the desired characteristics are first written as a system of equations, and the equations are then manipulated into the form representing the simplest circuit. The circuit may then be immediately drawn from the equations. By this method it is always possible to find the simplest circuit containing only series and parallel connections, and in some cases the simplest circuit containing any type of connection.

Our notation is taken chiefly from symbolic logic. Of the many systems in common use we have chosen the one which seems simplest and most suggestive for our interpretation. Some of our phraseology, such as node, mesh, delta, wye, etc., is borrowed from ordinary network theory for simple concepts in switching circuits.

II. Series-Parallel Two-Terminal Circuits

Fundamental Definitions and Postulates

We shall limit our treatment of circuits containing only relay contacts and switches, and therefore at any given time the circuit between any two terminals must be either open (infinite impedance) or closed (zero impedance). Let us associate a symbol Xab or more simply X, with the terminals a and b. This variable, a function of time, will be called the hindrance of the two-terminal circuit a -b. The symbol 0 (zero) will be used to represent the hindrance of a closed circuit, and the symbol I (unity) to represent the hindrance of an open circuit. Thus when the circuit a - b is open Xab = I and when closed Xab = O. Two hindrances Xab and Xcd will be said to be equal if whenever the circuit a - b is open, the circuit c - d is open, and whenever a - b is closed, c -d is closed. Now let the symbol + (plus) be defined to mean the series connection of the two-terminal circuits whose hindrances are added together. Thus Xab + Xcd is the hindrance of the circuit a - d when band c are connected together. Similarly the product of two hindrances Xab • Xcd or more briefly XabXcd will be defined to mean the hindrance of the circuit formed by connecting the circuits a - band c - d in parallel. A relay contact or switch will be represented in a circuit by the symbol in Figure 1, the letter being the corresponding hindrance function. Figure 2 shows the interpretation of the plus sign and Figure 3 the multiplication sign. This choice of symbols makes the manipulation of hindrances very similar to ordinary numerical algebra.

Eine symbolische Analyse von Relais- und Schaltkreisen

Claude E. Shannon

I. Einleitung

In den Steuer- und Schutzschaltungen komplexer elektrischer Systeme ist es häufig erforderlich, komplizierte Verbindungen zwischen Relaiskontakten und Schaltern herzustellen. Beispiele für solche Schaltungen finden sich in automatischen Telefonvermittlungsanlagen, industriellen Motorsteuerungsanlagen und in fast allen Schaltungen, die komplexe Vorgänge automatisch ausführen sollen. In diesem Beitrag wird eine mathematische Analyse bestimmter Eigenschaften solcher Netzwerke vorgenommen. Besonderes Augenmerk wird dabei auf das Problem der Netzsynthese gelegt. Wenn bestimmte Eigenschaften gegeben sind, muss eine Schaltung gefunden werden, die diese Eigenschaften enthält. Die Lösung dieser Art von Problem ist nicht eindeutig, und es werden Methoden untersucht, mit denen sich bestimmte Schaltungen finden lassen, die die geringste Anzahl von Relaiskontakten und Schaltzungen erfordern. Es werden auch Methoden beschrieben, um eine beliebige Anzahl von Schaltungen zu finden, die einer gegebenen Schaltung in allen Betriebseigenschaften gleichwertig sind. Es wird gezeigt, dass mehrere der bekannten Theoreme über Impedanznetzwerke in etwa analoge Theoreme für Relaisschaltungen haben. Zu nennen sind hier die Delta-Wye- und Stern-Maschen-Transformationen sowie das Dualitäts-Theorem.

Die Methode zur Lösung dieser Probleme lässt sich kurz wie folgt beschreiben: Jede Schaltung wird durch eine Reihe von Gleichungen dargestellt, wobei die Terme der Gleichungen den verschiedenen Relais und Schaltern in der Schaltung entsprechen. Es wird ein Kalkül entwickelt, um diese Gleichungen durch einfache mathematische Prozesse zu manipulieren, von denen die meisten den gewöhnlichen algebraischen Algorithmen ähneln. Es wird gezeigt, dass dieser Kalkül genau analog zum Kalkül der Propositionen ist, die in der symbolischen Studie der Logik verwendet werden. Für das Syntheseproblem werden die gewünschten Eigenschaften zunächst als Gleichungssystem geschrieben, und die Gleichungen werden dann in eine Form gebracht, die die einfachste Schaltung darstellt. Die Schaltung kann dann unmittelbar aus den Gleichungen abgeleitet werden. Mit dieser Methode ist es immer möglich, die einfachste Schaltung zu finden, die nur Reihen- und Parallelschaltungen enthält, und in einigen Fällen die einfachste Schaltung, die jede Art von Verbindung enthält.

Unsere Notation ist vor allem der symbolischen Logik entnommen. Von den vielen gebräuchlichen Systemen haben wir dasjenige gewählt, das uns für unsere Interpretation am einfachsten und einleuchtendsten erscheint. Einige unserer Begriffe wie Knoten, Masche, Dreieck, Stern usw. sind aus der gewöhnlichen Netzwerktheorie für einfache Konzepte in Schaltkreisen entlehnt.

II. Reihen-Parallel-Zweipolige Schaltungen

Grundlegende Definitionen und Postulate

Wir beschränken uns auf Stromkreise, die nur Relaiskontakte und Schalter enthalten. Daher muss der Stromkreis zwischen zwei beliebigen Klemmen zu jedem Zeitpunkt entweder offen (unendliche Impedanz) oder geschlossen (Nullimpedanz) sein. Wir ordnen den Klemmen a und b ein Symbol Xab oder einfacher X zu. Diese Variable, eine Funktion der Zeit, wird als Hindernis des Stromkreises mit zwei Klemmen a -b bezeichnet. Das Symbol 0 (Null) wird verwendet, um das Hindernis eines geschlossenen Stromkreises darzustellen, und das Symbol I (Einheit), um das Hindernis eines offenen Stromkreises darzustellen. Wenn also der Stromkreis a - b offen ist, ist Xab = I, und wenn er geschlossen ist, ist Xab = O. Zwei Hindernisse Xab und Xcd sind gleich, wenn, wenn der Stromkreis a - b offen ist, der Stromkreis c - d offen ist, und wenn a - b geschlossen ist, c -d geschlossen ist. Mit dem Symbol + (plus) wird nun die Reihenschaltung der beiden Endstromkreise bezeichnet, deren Hindernisse addiert werden. So ist Xab + Xcd das Hindernis des Stromkreises a - d, wenn das Band c zusammengeschaltet wird. In ähnlicher Weise wird das Produkt aus zwei Hindernissen Xab - Xcd oder kurz XabXcd als das Hindernis des Stromkreises definiert, der durch die Parallelschaltung der Stromkreise a - band c - d gebildet wird. Ein Relaiskontakt oder Schalter wird in einer Schaltung durch das Symbol in Abbildung 1 dargestellt, wobei der Buchstabe die entsprechende Hindernisfunktion darstellt. Abbildung 2 zeigt die Bedeutung des Pluszeichens und Abbildung 3 die des Multiplikationszeichens. Durch die Wahl dieser Symbole ist die Handhabung von Hindernissen der gewöhnlichen numerischen Algebra sehr ähnlich.