Umgangssprachliches: Es gibt das Wort Messeinheit (M-"e"-sseinheit mit e). Es steht für ein Instrument zum Messen, es sollte nicht Einheit genannt werden, das ist ein Übersetzungsfehler (siehe IMU). Ich verwende das Wort Mass umgangssprachlich beispielsweise für ein Mass Bier, das ist ein Liter in einem Krug, der diese Grösse hat. Die Physiker verwende die Wörter auch umgangssprachlich, sie sagen auch Grösseneinheit, weil sie begrifflich nicht wissen, was sie als Grösse bezeichnen.   Als Masseinheit bezeichne ich - auch wenn Physiker teilweise von Grösseneinheit oder sogar von physikalischer Einheit schwatzen - eine konventionell festgelegte Einheit, die ich beim Messen verwende.

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Mass ist - in diesem Sinn - eine Hypostasierung einer bestimmten Grösse.

Beispiel:
Meter ist die Masseinheit für die Grösse "Länge". Längen gebe ich in der Masseinheit Meter an.

physikalischen Grössen sind Meter, Sekunde oder Kilogramm.
Die Währungseinheiten, etwa Franken betrachte ich nicht als "Mass"einheit sondern als Grösseneinheit, weil ich Preise nicht messe, sondern sehr oft ohne Mass schätze.

Die Festlegung der Masseinheit kann durch verschiedene Methoden erfolgen, die aber immer eine Messung als Bezugspunkt haben. Der Meter kann in Form eines Urmeters festgelegt werden, also als materieller Masstab, oder aber durch ein Verfahren. Die aktuell gebrauchte Meterkonvention definiert den Meter als „die Strecke, die das Licht im Vakuum in einer Zeit von 1 / 299.792.458 Sekunde zurücklegt“.
Die Konvention (z.B. die ISO-Norm) verlangt also einen doppelten Entscheid: ein Verfahren und ein Grössenwert, der oft durch verschiedene Verfahren ermittelt werden kann.